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IV.2 ‚Büchelgen‘
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26. Mai – 15. Juni 1785 (13. – 27. Stunde)
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VII F 2, K 1, 15v – K 3, 3v
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Einfügungen aus: J 1, 15r – 16v; A 1, 2r – 3r; J 1, 19v; B 3, 5r – 7r
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15v[…]
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Schwere.
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Compendium, wörtlich.
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14. 7 den 27 May
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Von der Schwere und dem Hebel bis auf den allgemeinen Satz |
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K 2, 2r15. 2 den 30 May.
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Noch ein mal das Moment erklärt
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Es sind Krafft und Last gegeben man sucht die Stelle der Unter-
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lage.
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gehört eigentlich zum Schwerpunckt
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Es ist das Moment der Last gegeben, und die Entfernung der
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Krafft, man sucht die Krafft.
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Eben so verhält es sich auch mit dem Hebel der 2ten Art
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die Stangenträger
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Nutzen dieser Lehre
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Die Waagen.
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bilanx
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statera romana
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une Romaine.
Anmerkungen
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525 Zu den Gegenständen von Erxlebens Unterabschnitten „Vom Hebel und dem Räderwerke“ (§ 74 – 91), „Vom Schwerpuncte“ (§ 92 – 95) und „Von der schiefen Ebne“ (§ 96 – 98) finden sich keine Ausführungen in L.s Heften, seine Büchelchen aber bezeugen, daß er im Kolleg mehrere Stunden auf ihre Erläuterung verwendet hat. Zur besseren Übersicht werden die sogenannten Potenzen oder einfachen Maschinen vorab im Zusammenhange vorgestellt. Bekannt sind deren Verwendung und Funktionsweise schon in der Antike. Zum ersten Male ist von ihnen im 8. Buche der ‚Collectio Mathematica‘ des Pappus die Rede. Pappus, der sich auf Heron von Alexandria beruft, rechnet zu ihnen die Rolle (ἄξων ἐν τῷ περιτροχίῳ), den Hebel (μοχλός), den Flaschenzug (πολύσπαστον), den Keil (σφήν) und die Schraube (κοχλίας). Was L.s Zeitgenossen unter einer einfachen Maschine verstanden, beschreibt d’Alembert in der ‚Encyclopédie‘ als „ce qui sert à augmenter & à regler les forces mouvantes, ou quelque instrument destiné à produire du mouvement de façon à épargner ou du tems dans l’exécution de cet effet, ou de la force dans la cause.“ (Encyclopédie 9, 1765, 794.) Ähnlich definiert Gehler (3, §S. 141) die Maschinen als „Veranstaltungen, wodurch man Bewegungen mit Vortheil hervorbringt. Der Vortheil liegt entweder in der Größe der Kraft, oder in der Geschwindigkeit der Bewegung, d. i. man braucht die Maschine, um eben dieselbe Bewegung entweder mit geringerer Kraft, oder durch eine langsamere Bewegung hervorzubringen, als sonst möglich wäre.“ L. scheint – zumindest in den letzten Jahren – auf eine Erörterung auch der theoretischen Grundlagen der Maschinen verzichtet zu haben, denn Gamauf (1, §S. 174) leitet seine Aufzeichnungen zu „Vom Hebel und dem Räderwerk“ mit der Bemerkung ein: „Alles dieß gehört eigentlich in die [an]gewandte Mathematik. Daher handelte Lichtenberg davon so kurz als möglich.“ – Vgl. zum Ganzen auch Kästner, Anfangsgründe 2.1, 1792, §S. 6 – 72.1. Der Hebel. „Ein geradlinichter mathematischer Hebel heißt eine gerade, unbiegsame Linie, ohne Schwere; bey der an zween Puncten Kraft und Last dergestalt angebracht sind, daß, wenn eine von beyden die Ueberwucht bekömmt, die Linie sich um einen gewissen Punct drehet, welcher der Ruhepunct oder Bewegungspunct, das aber, was den Hebel daselbst aufhält, die Unterlage (hypomochlium) genannt wird. […] Nachdem Kraft und Last auf verschiedenen Seiten der Unterlage oder auf einer sind; heisst der Hebel von der ersten oder der andern Art (heterodromus; homodromus).“ (Kästner, Anfangsgründe 2.1, 1792, §S. 8 f.) – Bei Erxleben werden zunächst einzelne Fälle als Sätze vom Hebel behandelt, bis es im § 81 heißt (ErxH, 101): „überhaupt erfolgt ein Gleichgewicht am Hebel, wenn sich die Gewichte oder die Kräfte verkehrt verhalten wie ihre Entfernung vom Ruhepuncte.“ In einer (gedruckten) Note merkt L. dazu an (ebd.): „Eigentlich ist von diesem allgemeinen Satz durch das vorhergehende nur der besondere Fall erwiesen, da eines der Gewichte ein vielfaches des andern ist. Die Wahrheit|
526 desselben läßt sich aber für jeden besondern Fall, da die Gewichte jene Verhältniß nicht haben, leicht aus dem gesagten herleiten und so der allgemeine Beweis finden, den Kästner (Anfangsgründe der Statik [= Kästner 2, 1] §. 34, 35.) giebt.“ Gamauf notiert ihn als Satz, den L. seinen Hörern „recht nachdrücklich eingeschärft“ habe (1, §S. 175): „Das einfache Gewicht thut in der doppelten Distanz so viel, als das doppelte Gewicht in der einfachen Distanz.“ In der uns vertrauten Form finden wir das Hebelgesetz 1778 bei Karsten (Lehrbegriff 1.2, 1778, §S. 40): „Das Product, welches gefunden wird, wenn man eine Kraft am Hebel mit ihrer Entfernung vom Ruhepunct multiplicirt, heißt das Moment […] dieser Kraft. Demnach sind ein Paar Kräfte am Hebel, deren Richtungslinien den Hebel senkrecht schneiden, nur alsdenn im Gleichgewicht, wenn ihre Momente gleich groß sind.“2. Die Waage. „Den Namen einer Wage führt überhaupt jeder Hebel, der dazu dient, das Gewicht der Körper vermittelst eines Gegengewichts zu erfahren. […] zur gemeinen Wage […] [vgl. Abb.] dient ein gleicharmichter Hebel AB, dem eine solche Gestalt gegeben ist, daß sein Schwerpunkt G die Länge AB halbirt. […] Man hängt an beyden Endpunkten die Schalen D und E mit Schnüren oder Ketten auf, welche beyde mit ihren […] Schnüren gleich schwer seyn müssen.“ Es „ist die Absicht der Wage, daß bey gleichen in die Schalen D und E eingelegten Gewichten P und Q der Wagbalken die horizontale (wagrechte) Stellung behalten, bey der geringsten Ungleichheit der Gewichte aber diese Stellung verlassen, jedoch dabey nicht ganz umschlagen, sondern nur um einen gewissen Winkel [α], den man den Ausschlag nennt, von der Horizontallinie abweichen, und alsdann stillstehen soll. Dieser Ausschlag [des Waagebalken oder eines an ihm befestigten Zeigers] soll desto größer seyn, je größer die Ungleichheit der Gewichte P und Q ist […]. Man unterstützt […] den Wagbalken nicht im Schwerpunkte G selbst, sondern im Punkte C, der bey wagrechter Stellung des Balkens lothrecht über G liegt“ (Gehler 4, §S. 609 – 611; Tafel 25, Fig. 63). 
[Zeichnung]Für kleine Ausschläge α des Zeigers gilt 
, wo p = P – Q; 2l = AB; s = GS und M das Gewicht des Waagebalkens ist. Die Empfindlichkeit der Waage ist definiert als 
, d. h. die Empfindlichkeit ist um so größer, je länger und leichter die Waagebalken und je geringer der Abstand zwischen dem Dreh- und dem Schwerpunkt der Waage ist.“|
[Zeichnung]Für kleine Ausschläge α des Zeigers gilt , wo p = P – Q; 2l = AB; s = GS und M das Gewicht des Waagebalkens ist. Die Empfindlichkeit der Waage ist definiert als , d. h. die Empfindlichkeit ist um so größer, je länger und leichter die Waagebalken und je geringer der Abstand zwischen dem Dreh- und dem Schwerpunkt der Waage ist.“|5273. Die Rolle. „Die Rolle ist eine von den sechs einfachen Maschinen oder Potenzen der Mechanik. Sie besteht aus einer hölzernen oder metallnen cirkelrunden Scheibe […], welche sich um eine durch ihren Mittelpunkt […] durchgesteckte feste Axe drehen läßt. Diese Axe […] steckt bisweilen in einer Hülse […], welche […] an einem Haken aufgehangen werden kan. Der äussere Umfang der Rolle muß einen Einschnitt haben, damit das darum geschlagne Seil […] nicht abgleite. An beyden Enden dieses Seils wirken zwo Kräfte […] einander entgegen, deren jede durch Fortziehung des Seils die Rolle nach ihrer Seite zu umzudrehen strebt“ (Gehler 3, §S. 727). – Im Gleichgewicht sind die beiden Kräfte einander gleich, unabhängig von ihrer Angriffsrichtung. Durch die feste Rolle entsteht keine Arbeitsersparnis, die Last wird aber umgelenkt. Bei der losen Rolle gilt 
; wenn die Kraft um die Strecke s verschoben wird, wird die Last nur um die Strecke 
verrückt.
(Fig. 39 und 41 Pl. VI. in Sigauds ‚Anweisung‘) [Zeichnung]4. Der Flaschenzug. „Ein mechanisches Werkzeug, aus zween Kloben oder Flaschen zusammengesetzt, deren jede mehrere Rollen enthält. Die obere Flasche ist befestigt, an der unteren aber hängt die Last, welche durch ein um alle Rollen gehendes Seil zugleich mit der unteren Flasche in die Höhe gehoben wird“ (Gehler 2, §S. 313). – Beim Flaschenzug vermindert jede Rolle die aufzuwendende Kraft um die Hälfte und verdoppelt den Weg der Last.|
; wenn die Kraft um die Strecke s verschoben wird, wird die Last nur um die Strecke verrückt.(Fig. 39 und 41 Pl. VI. in Sigauds ‚Anweisung‘) [Zeichnung]4. Der Flaschenzug. „Ein mechanisches Werkzeug, aus zween Kloben oder Flaschen zusammengesetzt, deren jede mehrere Rollen enthält. Die obere Flasche ist befestigt, an der unteren aber hängt die Last, welche durch ein um alle Rollen gehendes Seil zugleich mit der unteren Flasche in die Höhe gehoben wird“ (Gehler 2, §S. 313). – Beim Flaschenzug vermindert jede Rolle die aufzuwendende Kraft um die Hälfte und verdoppelt den Weg der Last.|528
(Fig. 42 Pl. VI. und Fig. in Sigauds ‚Anweisung‘) [Zeichnung]5. Schiefe Ebene. „Man kan im Allgemeinen jede ebne Fläche, gegen welche irgendeine Kraft unter einem schiefen Winkel wirkt, in Rücksicht auf diese Kraft eine schiefe Ebne nennen. Insbesondere aber giebt man diesen Namen denjenigen Flächen, welche mit der Horizontalfläche, mithin auch mit der Scheitellinie oder der Richtung der Schwere, schiefe Winkel machen“ (Gehler 3, §S. 833). – Benutzt man die schiefe Ebene als Rampe, um einen Körper der Masse m auf eine Höhe h zu heben, dann gilt für die längs der Schiefe aufzuwendende Kraft F (bei Vernachlässigung der Reibung) 
, wo g die Fallbeschleunigung und l die Länge der Schiefe ist. Demonstrieren kann man die Verhältnisse an einer an einem Bogen beweglichen schiefen Fläche (vgl. Fig. 49 Pl. VII in Sigauds ‚Anweisung‘). 
[Zeichnung] |
(Fig. 42 Pl. VI. und Fig. in Sigauds ‚Anweisung‘) [Zeichnung]5. Schiefe Ebene. „Man kan im Allgemeinen jede ebne Fläche, gegen welche irgendeine Kraft unter einem schiefen Winkel wirkt, in Rücksicht auf diese Kraft eine schiefe Ebne nennen. Insbesondere aber giebt man diesen Namen denjenigen Flächen, welche mit der Horizontalfläche, mithin auch mit der Scheitellinie oder der Richtung der Schwere, schiefe Winkel machen“ (Gehler 3, §S. 833). – Benutzt man die schiefe Ebene als Rampe, um einen Körper der Masse m auf eine Höhe h zu heben, dann gilt für die längs der Schiefe aufzuwendende Kraft F (bei Vernachlässigung der Reibung) , wo g die Fallbeschleunigung und l die Länge der Schiefe ist. Demonstrieren kann man die Verhältnisse an einer an einem Bogen beweglichen schiefen Fläche (vgl. Fig. 49 Pl. VII in Sigauds ‚Anweisung‘). [Zeichnung] |529Siehe auch L.s Instrumentenverzeichnis (NL VII Q 2, Bl. 16v): „Ein Planum inclinatum aus Eichenholz mit Rolle und Gradebogen nebst einen kleinen nett gearbeiteten meßingenen Wagen die Gesetze dieses Plani durch Versuche zu zeigen.“ – Die „Stelle der Last vertritt ein messingener Wagen, und die Stelle der Kraft, ein Gewicht, das an einer Rolle hängt“ (Gam 1, §S. 224).6. Der Keil. „Der Keil ist eine von den sechs einfachen Maschinen oder Potenzen der Mechanik. Er besteht aus einem dreieckigten Prisma […], von dem zwo Seitenflächen […], die einen spitzigen Winkel […] mit einander machen, durch eine Gewalt, die auf die dritte Seitenfläche […] wirkt, z. E. durch Gewichte oder Schläge, zwischen Dinge getrieben werden, die man von einander sondern will“ (Gehler 2, §S. 748). – Alle das Material spaltenden oder trennenden (Beile, Messer etc. ) und alle spitzen Werkzeuge (Nadeln, Nägel etc.) wirken wie Keile. Den Keil kann man als Kombination zweier schiefer Ebenen auffassen, die mit ihren Grundflächen aneinander gelegt worden sind. Wenn die widerstehende Kraft des Materials, z. B. des zu spaltenden Holzes, senkrecht zur Mittelinie (d. i. die Symmetrieachse) des Keils wirkt, dann verhält sich die aufzuwendende Kraft zur widerstehenden, wie der Rücken des Keils zu seiner Länge; wirkt die widerstehende Kraft senkrecht zu den beiden Seiten des Keils, dann verhalten sich diese Kräfte wie der Rücken des Keils zu seiner Seite (vgl. Pl. VII, Fig. 50 und 51 in Sigauds ‚Anweisung‘). 
[Zeichnungen] Dabei sind Reibungskräfte nicht berücksichtigt. Kästner (Anfangsgründe 2.1, 1792, §S. 68) merkt an, „daß in den wenigsten Fällen, wo der Keil vorkömmt, die Umstände vorhanden sind, die man bey ihm voraussetzet. […] Fast nie wirkt er ohne ein gewaltiges Reiben, die Gewalt, mit welcher das gespaltene Holz u. d. gl. wieder zusammen gehen will, ist schwer zu bestimmen, und noch schwerer die Art, wie diese Gewalt auf den Keil wirkt. […] Nach den Umständen, in denen sich die Theorie des Keils jetzo befindet, können sich Anfänger damit begnügen, daß sie überhaupt aus den Gesetzen schiefer Flächen einsehen, ein spitziger Keil habe mehr Vermögen als ein stumpfer.“7. Die Schraube. „Wenn ein rechtwinklichtes Dreyeck […] an die Fläche eines senkrechten Cylinders […] dergestalt gelegt wird, daß die Grundlinie […] sich in einen der Grundfläche des Cylinders […] gleichen und parallelen Kreis […] umbiegt, die Höhe […] aber ein Stück der Seite des Cylinders […] wird, so bildet die Hypothenuse […] auf der krummen Seitenfläche des Cylinders […] [eine] krumme Linie […], welche ein Schraubengang […] ge|
[Zeichnungen] Dabei sind Reibungskräfte nicht berücksichtigt. Kästner (Anfangsgründe 2.1, 1792, §S. 68) merkt an, „daß in den wenigsten Fällen, wo der Keil vorkömmt, die Umstände vorhanden sind, die man bey ihm voraussetzet. […] Fast nie wirkt er ohne ein gewaltiges Reiben, die Gewalt, mit welcher das gespaltene Holz u. d. gl. wieder zusammen gehen will, ist schwer zu bestimmen, und noch schwerer die Art, wie diese Gewalt auf den Keil wirkt. […] Nach den Umständen, in denen sich die Theorie des Keils jetzo befindet, können sich Anfänger damit begnügen, daß sie überhaupt aus den Gesetzen schiefer Flächen einsehen, ein spitziger Keil habe mehr Vermögen als ein stumpfer.“7. Die Schraube. „Wenn ein rechtwinklichtes Dreyeck […] an die Fläche eines senkrechten Cylinders […] dergestalt gelegt wird, daß die Grundlinie […] sich in einen der Grundfläche des Cylinders […] gleichen und parallelen Kreis […] umbiegt, die Höhe […] aber ein Stück der Seite des Cylinders […] wird, so bildet die Hypothenuse […] auf der krummen Seitenfläche des Cylinders […] [eine] krumme Linie […], welche ein Schraubengang […] ge|530nannt wird. Wird dies an einem Cylinder […] mehreremale wiederholet, so bilden die aneinander hängenden Schraubengänge eine Schraube“ (Gehler 3, 869). – Anders ausgedrückt: man wickelt eine schiefe Ebene um einen Zylinder herum. Wählt man die Basislinie AB der schiefen Ebene gleich dem Umfang des Zylinders, dann bildet ihre Länge AC eine Schraubenlinie, und ihre Höhe BC die sogenannte Ganghöhe h der Schraube. Bei jeder vollen Umdrehung bewegt sich die Schraube in Richtung ihrer Achse um die Ganghöhe h. Die längs der Schraubenachse ausgeübte Kraft FA muß dabei der bei der Umdrehung längs der Schraubenlinie wirkendne Kraft FS das Gleichgewicht halten. Dann gilt (bei Vernachlässigung der Reibung) 
, d. h. die erzeugte Kraft FA ist um so größer, je größer der Umfang und je niedriger die Ganghöhe der Schraube ist.
anmerkung
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, d. h. die erzeugte Kraft FA ist um so größer, je größer der Umfang und je niedriger die Ganghöhe der Schraube ist.
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530 Descartes spricht mehrmals „d’un seul principe, qui est le fondement general de toute la Statique“ und das lautet: „qu’il ne faut ny plus ny moins de force, pour lever un cors pesant a certaine hauteur, que pour en lever un autre moins pesant a une hauteur d’autant plus grande qu’il est moins pesant, ou pour en lever un plus pesant a une hauteur d’autant moindre. Comme, par exemple, que la force qui peut lever un poids de 100 livres a la hauteur de deux pieds, en peut aussy lever un de 200 livres a la hauteur d’un pied, ou un de 50 a la hauteur de 4 pieds, & ainsi des autres, si tant est qu’elle leur soit appliquée.“ Descartes demonstriert sein Prinzip in einem Brief an Mersenne 13. Juli 1638 (Correspondance 2, 1898, Nr. 129, 228) an Flaschenzug und schiefer Ebene und erst zum Ende am Hebel „à cause que c’est l’engin pour lever des fardeaux le plus difficile de tous à expliquer.“ Kästner schreibt dazu im § 54 seiner ‚Statik‘ (Anfangsgründe 2.1, 1792, 29): „Dieses ist Cartesens Grundsatz der Statik. (Tract. de Mechanica in R. des Cart. Opusc. posthum [= Descartes, Tractatus 1701]). Eine richtige Folgerung aus dem Erwiesenen, wenigstens für den Hebel, aber nicht offenbahr genug zu einem Grundsatze.“ (Z. geprüft) – Um möglichen Mißverständnissen zu begegnen, schreibt Descartes am 12. Sept. 1638 an Mersenne (Correspondance 2, 1898, Nr. 142, 352 f.): „Il faut sur tout considerer quei’ay parlé de la force qui sert pour lever un poids a quelque hauteur, laquelle force a tousiour deux dimenssions, & non de celle qui sert en chasque point pour le soutenir, laquelle n’a iamais qu’une dimension, en sorte que ces deux forces different autant l’une de l’autre qu’une superficie differe d’une ligne.“
anmerkung
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530 Da die Hebelarme (Kraft- und Lastarm) als Lote vom Ruhe- oder Drehpunkt auf die jeweiligen Richtungslinien (d. h. Wirkungslinien) von Kraft und Last definiert sind, sind auch die Fälle erfaßt, bei denen die Wirkungslinien von Kraft und Last den Hebel nicht senkrecht schneiden oder der Hebel nicht geradlinig ist.
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530 „Die Kramerwage, Goldwage, Probirwage u. s. w. sind blos Arten der gemeinen gleicharmichten Wage, die sich nur durch ihre verschiedene Schärfe und Empfindlichkeit unterscheiden“ (Gehler 4, §S. 610).|
anmerkung
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531 Den Namen Schnellwaage (Statera Romana oder Balance Romaine) „führt eine Wage, auf welcher man Körper von sehr verschiedenen Gewichten mit einerley Gegengewichte abwägen kann. […] Man erreicht bey der Schnellwage die Absicht durch Verschiebung des Gegengewichts am längern Arme eines ungleicharmigen Hebels ABC […]. Das Gegengewicht D erhält desto mehr Moment, je weiter es vom Ruhepunkte B entfernt wird […]. Es kann daher immer schwerern in die Schale E gelegten Lasten das Gleichgewicht halten, je näher es an das Ende C geschoben wird“ (Gehler 3, §S. 867; Tafel XXI, Fig. 135). 
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anmerkung
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