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Nr. 25 VIII A 3, 9r – 9v
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9rMaas der lebendigen Kräffte
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Philos. Trans. Vol 68. art 17. Reflections on the communication of
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M=1m=2
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C=0c=1
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Q=0q=2
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Nr. 26 IV 37, 36r
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jenen Bewegung, bey diesen keine hervorgebracht wird, so muß
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man sich diese nur als einen eintzigen Druck, der aufgehalten
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wird, vorstellen, denn weil durch die Hinderniß, dieser Druck
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aufgehalten wird, so ist klar, daß er bey fortdauernder Hinder-
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gen. Was aber ein eintzelner Druck in einer unendlich kleinen
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Zeit hervor brächte, wäre eine unendlich kleine Bewegung, und
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daher wird das, womit endliche Bewegung verbunden ist, die so-
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genannte lebendige Krafft als eine Summe unzähliger Drucke, als
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ein Integral [sich] ansehen lassen davon ein Druck das Element
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wäre.(269; 304)
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MCS
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CT = S
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MC²
Anmerkungen
579
(269)
579 „Vom Stoße der Körper“ handelt Erxleben in seiner ‚Naturlehre‘ in § 117 – 137; in § 129 geht es um den Stoß zweier elastischer Körper, von denen der eine ruht (ErxH, 141): „Wäre der ruhende elastische Körper sehr groß von Masse, oder dergestalt befestigt, daß er ebenso anzusehen wäre […], so muß dennoch der daran stoßende Körper ruhen, sobald der Stoß geschehen ist.“ Dazu merkt L. in einer Note an (ebd.): „In der letzten Hälfte des §. scheint Hr. E. sich nur den ruhenden Körper als unendlich zu denken, den anstoßenden aber nicht; und ist dieses, so ist der Schluß falsch, denn der anstoßende Körper wird alsdann mit der Geschwindigkeit zurückfahren, mit der er angestoßen hat.“ –Der besseren Übersicht werden im Folgenden einige allgemeine Bemerkungen über den Stoß der Körper vorangestellt, die im Wesentlichen der Darstellung von A. Föppl, ‚Technische Mechanik‘ (1, 1920, §S. 315 – 326) folgen:Betrachtet werden soll hier der gerade und zentrale Stoß zweier Kugeln der Massen m1 und m2; die Kugeln sollen reibungsfrei gleiten, und nur eine Translationsbewegung und keine Drehbewegung haben. Der Stoßprozeß beginnt, wenn sich beide (in einem Punkte) berühren. Die durch diesen Punkt gehende Berührungsebene zwischen beiden heißt Stoßebene, die im Berührungspunkte auf dieser Ebene errichtete und auf ihr senkrecht stehende Gerade heißt Stoßnormale. Der Stoß soll gerade und zentral erfolgen. Er ist gerade, wenn die Richtung der Bewegung mit der Stoßnormalen zusam|
580menfällt, zentral, wenn die Stoßnormale durch die Schwerpunkte (= Mittelpunkte) der beiden Kugeln geht. Beim Stoß sind zwei Stoßperioden zu unterscheiden: In der ersten Periode wächst der Stoßdruck bis zur maximalen Abplattung der Kugeln, dann ist die Relativgeschwindigkeit = 0 und beide bewegen sich gemeinsam mit der Geschwindigkeit u fort. Haben sich die beiden Kugeln vor dem Stoß mit den Geschwindigkeiten v1 und v2 (Relativgeschwindigkeit 
) bewegt, dann gilt, wegen der Erhaltung der Bewegungsgröße: 
, d. h.
(wenn beide in die gleiche Richtung laufen),
(wenn beide in entgegengesetzte Richtungen laufen).Die kinetische Energie ist vor dem Stoß 
und am Ende des Stoßes 
.Die Differenz der kinetischen Energien vor und nach dem Stoß ist der Energieverlust auf Grund der Formänderung der stoßenden Körper.Sind die stoßenden Körper völlig unelastisch, ist der Stoß damit beendet. Sind sie dagegen vollständig elastisch, ist die Formänderung vollständig reversibel. Damit beträgt die Geschwindigkeitsänderung 
bzw. 
, sodaß für die Geschwindigkeiten nach dem Stoßprozeß
und 
gilt.Die Nichtelastizität kann man mit einem Restitutionskoeffizienten ε definieren (ε = 1 bei vollständig elastischen und ε = 0 bei völlig unelastischen Körpern). Dann ergibt sich
und 
und 
anmerkung
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) bewegt, dann gilt, wegen der Erhaltung der Bewegungsgröße: , d. h. (wenn beide in die gleiche Richtung laufen), (wenn beide in entgegengesetzte Richtungen laufen).Die kinetische Energie ist vor dem Stoß und am Ende des Stoßes .Die Differenz der kinetischen Energien vor und nach dem Stoß ist der Energieverlust auf Grund der Formänderung der stoßenden Körper.Sind die stoßenden Körper völlig unelastisch, ist der Stoß damit beendet. Sind sie dagegen vollständig elastisch, ist die Formänderung vollständig reversibel. Damit beträgt die Geschwindigkeitsänderung bzw. , sodaß für die Geschwindigkeiten nach dem Stoßprozeß und gilt.Die Nichtelastizität kann man mit einem Restitutionskoeffizienten ε definieren (ε = 1 bei vollständig elastischen und ε = 0 bei völlig unelastischen Körpern). Dann ergibt sich und und
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(304)
589 Geschähe die Einwirkung in einem Augenblick (Zeitpunkt), wäre die Stoßkraft unendlich groß. – Es ist nicht zu erkennen, wie L. die Körpereigenschaften weich oder hart genau definiert und wie ihnen die Eigenschaften elastisch oder unelastisch zugeordnet sind. Vgl. dazu auch Anm. 269 und 271.
anmerkung
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590 S. 368 – 375 der 1766 erschienenen 1. Aufl. der ‚Anfangsgründe der höhern Mechanik‘ enthalten das Kapitel „Vom Maasse der Kräfte.“
anmerkung
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590 Milner, Reflections 1778.
anmerkung
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590 Der Stoß ist unelastisch.
anmerkung
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590 Zu Erxlebens Bemerkung hierüber führt Gamauf aus (1, §S. 333 f.): „Hierüber hätte der Verfasser wieder schweigen können. Nicht einmahl dem Nahmen nach hätte er diese Kräft berühren sollen; denn es läßt sich ohne Umständlichkeit nicht einmahl erklären, wovon eigentlich die Rede ist.“ – Die Unterscheidung zwischen toter und lebendiger Kraft hat Leibniz in der im April 1695 in den ‚Acta Eruditorum‘ erschienenen Abhandlung ‚Specimen dynamicum‘ eingeführt, in der er die Kraft als doppelt bezeichnet „die eine elementar, die ich auch tot nenne, denn in ihr existiert noch keine Bewegung, sondern lediglich die Anregung zur Bewegung (sollicitatio ad motum) […]; die andere aber ist die gewöhnliche Kraft, mit wirklicher Bewegung verbunden, die ich lebendig nenne. Und ein Beispiel der toten Kraft ist die zentrifugale Kraft selbst, und ebenso die Schwerkraft oder zentripetale Kraft. […] Aber beim Stoß, der sich aus einem schon eine Weile lang fallenden Gewicht ergibt, […] ist die Kraft lebendig, aus unendlich vielen fortgesetzten Einprägungen der toten Kraft (ex infinitis vis mortuae impressionibus continuatis) entstanden.“ (Specimen 1982, §S. 12/13 f.) Die Beziehungen zwischen toter und lebendiger Kraft demonstriert Leibniz an den klassischen Maschinen (Hebel, schiefe Ebene etc.), „wo ausschließlich vom ersten wechselseitigen Streben (de connatu primo) der Körper gegeneinander […] gehandelt wird.“ (ebd., §S. 14 f.) Bei dem Versuch, die Gesetze der toten Kraft auf die lebendige zu übertragen, „wurden diejenigen getäuscht, die die Kraft im Allgemeinen mit der aus dem Produkt der Masse in die Geschwindigkeit gebildeten Quantität verwechselten, weil sie bemerkten, daß die tote Kraft in deren Verhältnis zusammengesetzt ist.“ Nun sei es zwar so, daß z. B. „beim Niedersteigen verschiedener Gewichte im Anfang|
591 der Bewegung […] die beim Niedersteigen durchlaufenen Raumstrecken, den Geschwindigkeiten oder den Strebungen des Niedersteigens (connatibus descendendi) proportional, und zwar noch unendlich klein oder elementar sind.“ Beim Fortschreiten der Bewegung aber, nachdem „lebendige Kraft erzeugt wurde, sind die erlangten Geschwindigkeiten nicht länger den schon durchlaufenen Raumstrecken des Abstiegs proportional […] sondern nur deren Elementen“ (ebd., §S. 16/17). – Zum Streit um das wahre Kraftmaß und zum Problem tote Kraft – lebendige Kraft vgl. auch Anm. $291 und das entsprechende Kapitel in István Szabós exzellenter ‚Geschichte der mechanischen Prinzipien‘ 1979, §S. 47 – 85.
anmerkung
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